Vektorraum

Ein

ist eine Menge .html">Elementen | (Element (Mathematik|Elementen v, w, ..., genannt Vektoren .html">Körper .html">Skalar | (Skalar (Mathematik|Skalaren. Um den Zusammenhang zwischen den Vektoren .html">Körper | (Körper (Mathematik|Körper klar zu machen, sagt man oft "V ist ein K-Vektorraum" oder "V ist ein Vektorraum über K". Die Lineare Algebra | (Lineare Algebra) befasst sich speziell mit Vektorräumen. In einem Vektorraum sind, zusätzlich zu den Verknüpfung | (Verknüpfung)en + und ''.'' des Körpers K, die folgenden Verknüpfungen + und

definiert: : Addition .html">Gruppe | (Gruppentheorie|Gruppe) ist. : Multiplikation | (Multiplikation) (

eines Vektors mit einem Skalar ("skalare Multiplikation", d.h. ''a''

v ist wieder ein Vektor. Dabei müssen folgende Verträglichkeitsbedingungen zwischen den Verknüpfungen erfüllt sein : :Assoziativgesetz: :: ( ''a'' . ''b''

v = ''a''

( ''b''

v :Distributivgesetze: :: ''a''

( v + w = ''a''

v + ''a''

w :: ( ''a'' + ''b''

v = ''a''

v + ''b''

v Wenn ''1'' das multiplikativ neutrale Element von K ist, so folgt: : ''1''

v = v . Wenn ''0'' das additiv neutrale Element von K ist, so folgt: : ''0''

v = 0 ( 0 ist dabei der "Nullvektor", das Neutralelement der Gruppe (V,+ . ''Beispiele:'' 1. Anschauliche Vektorräume sind die 2-dimensionale Ebene oder der 3-dimensionale Raum mit den Pfeilklassen (Verschiebungen als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren. v = ( 2 , 3 sei die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. w = ( 3 ,-5 sei die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung: v + w = ( 5 ,-2 , d.h. 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten. Der Nullvektor ist 0 = ( 0 , 0 , d.h. keine Verschiebung. Mit einem Skalar ''a'' = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die S-Multiplikation: ''a''

v = 3

( 2 , 3 = ( 6 , 9 . Diese Verschiebung ist das Dreifache der Verschiebung v. 2. Vektorräume können jedoch auch abstrakter aussehen. So kann V etwa die Menge der Geraden sein. Beispiele für Geraden sind etwa: f(x = 2x + 3 , g(x = 3x - 5 . Die Summe zweier Geraden ist wieder eine Gerade: f(x + g(x = 2x + 3 + 3x - 5 = (2+3x + (3-5 = 5x - 2 . Der Nullvektor ist die Funktion n(x = 0x + 0 , d.h. n(x = 0. Mit einem Skalar ''a'' = 3 aus der Menge der reellen Zahlen ist die S-Multiplikation: ''a''

f(x = 3

(2x + 3 = (3.2x + (3.3 = 6x + 9. 3. Die Quantenmechanik arbeitet mit Hilberträumen .html">Funktionen | (Funktion (Mathematik|Funktionen sind.

Untervektorraum / Teilvektorraum

Wir betrachten den oben angegebenen K-Vektorraum V. V' ist ein Untervektorraum oder auch Teilvektorraum von V, falls die folgenden Bedingungen gelten:

V' \ne \empty

V' \subseteq V

Liegen Elemente x und y in V', so liegt auch (x + y in V' (Abgeschlossenheit .html"> (Addition)

Liegt das Element x in V', so liegt auch a

x in V', für alle a in K (Abgeschlossenheit .html"> (Multiplikation) ''Beispiel:'' Sei V ein Vektorraum über dem , und M ist eine Gerade .html">Ebene .html"> (Koordinate) stets 0 ist. ---- siehe auch Hierarchie mathematischer Strukturen .html"> (Raum (Mathematik

Home | Verzeichnis | | Mail

Google-Suche | MSN-Suche

History:
Copyright (c), 2004

Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document
under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2
or any later version published by the Free Software Foundation.
A copy of the license is included in the section entitled

"GNU Free Documentation License".