Vektoranalysis
ist ein Teilgebiet der
Mathematik .html">Vektoren .html">Dimension .html"> (
Formel)n und
Problemlösungstechnik .html"> (
Ingenieurwesen) und
Physik | (
Physik) sehr nützlich sind.
Wir betrachten
Vektorfelder | (
Vektorfeld|Vektorfelder), welche jedem Punkt dieses Raumes einen Vektor zuordnen, und
Skalarfelder .html">Skalar | (
Skalar (Mathematik|Skalar zuordnen.
Die Temperatur eines Swimmingpools zum Beispiel ist ein Skalarfeld: Jedem Punkt ordnen wir den Skalarwert seiner Temperatur zu. Die Wasserbewegung in diesem Swimmingpool ist dagegen ein Vektorfeld: Jedem Punkt ordnen wir einen Geschwindigkeitsvektor zu.
Drei Rechenoperationen sind in der Vektorrechnung von Bedeutung (dabei ist ∇ der Ableitungsoperator:
;
Gradient eines Skalarfeldes | (
Gradient eines Skalarfeldes): Gibt die Richtung und Stärke der Veränderung eines Skalarfeldes an; der Gradient eines Skalarfeldes ist selbst ein Vektorfeld.
:\nabla\varphi = \begin{pmatrix} \partial\varphi / \partial x \\ \partial\varphi / \partial y \\ \partial\varphi / \partial z \end{pmatrix}
; en.
:\operatorname{rot}\vec F := \nabla\times\vec F =
\begin{pmatrix}
{\partial F_z / \partial y} - {\partial F_y / \partial z} \\
{\partial F_x / \partial z} - {\partial F_z / \partial x} \\
{\partial F_y / \partial x} - {\partial F_x / \partial y}
\end{pmatrix}
;
Divergenz eines Vektorfeldes | (
Divergenz eines Vektorfeldes): Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, zu Punkten hin oder von Punkten weg zu fließen; die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld.
:\operatorname{div}\vec F:=\nabla\vec F =
\frac{\partial F_x}{\partial x}
+ \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z}
Die meisten analytischen Ergebnisse sind leichter mit Hilfe der
Differentialgeometrie | (
Differentialgeometrie) zu verstehen, einer Theorie, die die Vektoranalysis umfasst.
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