Unter
Modallogiken
versteht man solche
Logik | (
Logik)en,
die zusätzlich zu den aus der
Aussagenlogik | (
Aussagenlogik) bekannten
Konstrukten Operatoren enthalten, mit denen man über Modalitäten wie
"möglich" und "notwendig" (alethische Logik, "immer (in der Zukunft" und
"manchmal/irgendwann (in der Zukunft" (temporale Logik etc. sprechen
kann.
So lassen sich nicht nur Sätze wie "morgen wird es regnen"
formulieren, sondern auch Sätze wie "''möglicherweise'' wird es morgen
regnen, ''möglicherweise'' auch nicht".
Die Sprache der unimodalen Modallogik enthält alle aussagenlogischen
Formeln sowie zusätzlich alle Formeln der Gestalt
\Box\phi ("box phi", ''phi ist notwendig'' und \Diamond\phi
("diamond phi", ''phi ist möglich'' für alle modallogischen Formeln
\phi.
Dabei kann Box durch Diamond definiert werden und umgekehrt:
\Box\phi\leftrightarrow\lnot\Diamond\lnot\phi und
\Diamond\phi\leftrightarrow\lnot\Box\lnot\phi
Zwei unmittelbare Folgerungen daraus sind die an die De Morganschen Regeln | (De Morgansche Regeln|De Morganschen Regeln) erinnernden Sätze:
"Es ist nicht notwendig, dass X" ist äquivalent zu "Es ist möglich, dass nicht X", und
"Es ist nicht möglich, dass X" ist äquivalent zu "Es ist notwendig, dass nicht X".
Die Kripke-Semantik | (Semantik) der unimodalen Modallogik
In der nach Saul Kripke | (Saul Kripke) benannten Interpretation der Modallogik
betrachtet man alle "logisch möglichen Welten". Ein Kripke-Modell
besteht aus einer Menge solcher Welten, einer Zugänglichkeitsrelation | (Relation (Mathematik|Zugänglichkeitsrelation
zwischen ihnen und einer Interpretation der Aussagenvariablen in jeder
einzelnen der Welten.
Die Wahrheit einer Formel in einer möglichen
Welt ist dann wie folgt definiert: aussagenlogische Tautologie | (Tautologie)n gelten
in allen Welten, eine Formel gilt in einer Welt genau dann, wenn ihre
Negation | (Negation) nicht gilt, und eine Formel der Gestalt \Box\phi
gilt in einer Welt w genau dann, wenn \phi in jeder von w
zugänglichen Welt w' gilt.
Will man die Modallogik gemäß dieser Semantik axiomatisieren | (Axiom|axiomatisieren), so lässt
sich dies durch die Einführung des Axiomenschemas K und der
Schlussregel | (Schlussregel) der Nezessisierung realisieren:
Axiomenschema K: \Box(\phi \rightarrow \psi \rightarrow (\Box\phi \rightarrow \Box\psi.
Nezessisierungsregel: Wenn in allen Welten \phi gilt, so gilt auch in allen Welten \Box\phi.
Darüber hinaus benötigt man als Schlussregeln den Modus ponens und die universelle Substitution.
Je nach Anwendung und intendierter Semantik kann man weitere
Axiomenschemata hinzufügen, etwa:
# \Box\phi \rightarrow \phi (T
# \Box\phi \rightarrow \Box\Box\phi (4
# \Diamond\phi \rightarrow \Box\Diamond\phi (5
# \phi \rightarrow \Box\Diamond\phi (B
# \Box\phi \rightarrow \Diamond\phi (D
Diese Schemata entsprechen in der obigen Reihenfolge der Reflexivität,
Transitivität, Euklidizität, Symmetrie und Serialität der
Zugänglichkeitsrelation.
Eine der am häufigsten verwendeten Modallogiken, S5, basiert auf den
Axiomenschemata K, T und 5. Auch andere Kombinationen der
erwähnten Axiomanschemata sind sinnvoll und gebräuchlich.
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