12:46, 24. Apr 2004 (CEST)
Die
Logik
beschäftigt sich mit den Normen des korrekten Schließens. Sie untersucht, unter welchen Bedingungen das Folgern einer
Aussage .html">formale Systeme .html"> (
Schlussregel)n. Sie ist ein Teilgebiet der
Philosophie .html"> (
Mathematik), hat Querbezüge u.a. zur
Linguistik .html"> (
Intuition) zu unterschiedlichen Ergebnissen gelangen, oder wenn logisches Schließen zu Widersprüchen führt, so kann ein
Paradoxon | (
Paradoxon) entstehen.
Teilgebiete
Die wichtigsten Teilgebiete der elementaren
formalen Logik .html">Aussagen- .html"> (
Prädikatenlogik).
Die bis zum 19. Jahrhundert dominante
Syllogistik .html"> (
Aristoteles) zurückgeht, lässt sich als ein Vorläufer der Prädikatenlogik verstehen. Traditionell gehört auch die Lehre von so genannten
Fehlschlüssen | (
Fehlschluss|Fehlschlüssen) und allgemein die Beschäftigung mit praktischen Fragen des Argumentierens zum Bereich der Logik.
Logische Systeme (Kalküle werden unter anderem unterschieden in
axiom .html"> (
Logikkalkül)e und
Systeme natürlichen Schließens | (
Systeme natürlichen Schließens).
Die klassische Aussagen- und Prädikaten-Logik lässt sich grundsätzlich in zwei Weisen modifizieren:
Einerseits kann die Sprache um weitere Operatoren für bestimmte Redebereiche angereichert werden. Die
Modallogik .html"> (
deontische Logik) mit "geboten"
oder "erlaubt"; die
epistemische Logik | (
epistemische Logik) mit "wissen" und glauben".
Andererseits können Prinzipien, die in der klassischen Logik gültig sind, problematisiert werden. Die daraus entstehenden, im engeren Sinne
nicht-klassischen Logiken .html"> (
L. E. J. Brouwer) entwickelte logische
Intuitionismus .html"> (
Minimalkalkül) I. Johanssons, in der das "
ex falso quodlibet .html"> (
Relevanzlogik)en.
Quer hierzu stehen die
mehrwertigen Logiken .html"> (
unendlichwertige Logik) von
Jan Łukasiewicz .html"> (
Fuzzy-Logik) praktische Anwendung finden, und die
endlichwertige Logik .html"> (
Gotthard Günther) ("Günther-Logik", die auf Probleme der
sich selbst erfüllende Voraussagen .html"> (
Soziologie) angewandt wird.
Wissensrepräsentation mit Logik
Wissenbasiertes System
Verwendet man die klassische Logik als Repräsentation eines wissensbasierten Systems, spricht man von einem klassisch-logischen System
= Klassisch-logisches System
=
Ein solches logisches System lässt sich in zwei grundlegende Komponenten aufteilen. Die erste der beiden Komponenten eines klassisch-logischen Systems ist die sogenannte Inferenzrelation, um das menschliche Schließen
zu modellieren. Die zweite Komponente besteht aus einer
Repräsentationssprache, in der die Wissensbasis, der Kern des wissensbasierten Systems, formuliert werden kann. Die Aufgabe dieser Repräsentationssprache wird im klassisch-logischen System von den klassischen Logiken übernommen. Das bedeutet, dass das vorhandene Wissen in prädikatenlogischen Formeln kodiert wird. Das wichtigste Potential des auf diesen beiden Komponenten definierten klassich-logischen Systems besteht jedoch in der Inferenz von Wissen selbst.Wird die Inferenzrelation entsprechend der logischen Repräsentationsprache definiert, so ergibt sich die Möglichkeit,Wissen zu inferieren, das
bedeutet, aus bereits in dem System vorhandenem Wissen neues Wissen über die Inferenzrelation abzuleiten.
Inferenz im klasisch-logischen System
Aus der Einteilung der Inferenz in Deduktion, Induktion und Abduktion
ergibt sich, dass sowohl Induktion, als auch Abduktion als Schlussfolgerungsmechanismen nicht notwendigerweise korrekt sind. Somit stellt Deduktion die einzig sichere Methode im Schluss dar (vgl. 3-Teilung der Inferenz nach Peirce (1839-1914, weil das in diesem Fall abgeleitete Wissen immer wahr ist. Aufgrund dieser Eigenschaft benutzen logische Systeme die deduktive Instanz der Inferenz als Modellierung des logischen Folgerungsoperators.
Eine korrekte Schrittfolge dieser Inferenzprozedur, in deren Verlauf neues Wissen B aus vorhandenem Wissen W abgeleitet wird, bezeichnet man auch als Beweis. Mit Verwendung einer derartig deduktiven Inferenzkomponente wird es allerdings unmöglich, einmal als wahr abgeleitete Schlussfolgerungen wieder zu revidieren. Daher ist es in klassisch-logischen Systemen, die auf rein deduktiven Verfahren beruhen, unmöglich, nicht-monotones Schließen als fundamentales Merkmal menschlicher Inferenz korrekt zu modellieren.
Ein möglicher Lösungsansatz, der diesen Defekt im Inferenzmodell des logischen Systems beheben soll, besteht in der graduellen Abstufung der Korrektheit von Ableitungen. Diese Abstufung kann auf zwei Arten erreicht werden.
Auf der einen Seite geschieht dies durch Verwendung von Wahrscheinlichkeiten.
Indem Ableitungen über Prozentzahlen quantifiziert werden, erhält man eine probabilistische Logik in der graduelle Abstufungen durchaus möglich sind. Auf der anderen Seite wird die graduelle Abstufung von Schlussfolgerungen in Fuzzy-Logik durch die Verwendung von Gradzahlen zur Beschreibung vager Prädikate ermöglicht.
Aufbau eines logischen Systems
Grundkomponenten
\Sigma = Signatur
Int(\Sigma= Menge aller Interpretationen über der Signatur \Sigma
For(\Sigma= Menge aller Formeln über der Signatur \Sigma
\models_{\Sigma} = Erfüllungsrelation
= Die Signatur \Sigma
=
Die mengentheoretische Intuition hinter dem Begriff der Signatur ist eine Menge aus Namen und Begriffen, durch die alle Elemente einer zu repräsentierenden Wissensbasis W formalisiert werden. Genauer gesagt handelt es sich bei den Elementen einer Signatur um Namen, die nach Prädikaten und Funktoren klassifiziert und nach ihrer Stelligkeit differenziert werden.
;Aussagenlogische Signatur
Signaturen in der Aussagenlogik enthalten als Elemente nullstellige Namen oder Bezeichner, die auch als Aussagenvariablen bezeichnet werden.
Beispiel: \Sigma_{AL}=\{Schnee, schneit, Sonne, kalt\}
;Prädikatenlogische Signatur
Signaturen in der Prädikatenlogik 1. Stufe beinhalten null- und mehrstellige Funktoren und Prädikate. Somit kann eine Signatur in der Prädikatenlogik als Tupel betrachtet werden, wobei git:
\Sigma=(Func, Pred
Mit
Func = Menge von null- oder mehrstelligen Funktoren nullstellige Funktoren werden als Konstanten bezeichnet
Pred = Menge von null- oder mehrstelligen Prädikaten
Aufgrund der Tatsache, dass die Aussagenlogik eine echte Teilmenge der Prädikatenlogik 1. Stufe ist, enthält die Menge aller prädikatenlogischen Signaturen ebenso die Menge aller aussagenlogischen Signaturen als echte Teilmenge. Daraus folgt, dass die Aussagenvariablen durch nullstellige Prädikate modelliert werden könen. Diese können atomare Formeln, also die Atome der Aussagenlogik darstellen.
Beispiel: \Sigma_{PL1}=\{Schneewegschaufeln(x,y, Mann, Gehweg, Kinder, Einfahrt\}
= Die Menge der Interpretationen Int(\Sigma
=
Die wichtigste Eigenschaft einer Interpretation innerhalb des logischen Systems besteht darin, dass sie, zusammen mit der Erfüllungsrelation, die Verbindung zwischen der Syntax (in Form der Signatur \Sigma der Repräsentationssprache und der Semantik von Aussagen herstellt, indem sie die Namen der Signatur zu Objekten einer Wissensbasis W zuweist.
;Interpretation in der Aussagenlogik
Bei der Interpretation einer aussagenlogischer Signatur wird jeder Aussagenvariable aus der Signatur \Sigma ein Wahrheitswert zugeordnet. Diese Zuordnung erfolgt durch eine Interpretation \sigma für die gilt:
\sigma \in Int(\Sigma = \Sigma \longrightarrow \{0,1\}
Dabei bezeichnet die Menge Int(\Sigma die Menge aller Funktionen von einer gegebenen Signatur \Sigma nach \{0,1\}. Diese \sigma-Interpretation einer Signatur \Sigma wird auch Belegung genannt, weil durch diese Funktion jeder Aussagenvariable mit einem Wahrheitswert belegt wird.
;Interpretation in der Prädikatenlogik
In der PL1 lässt sich der Aufbau einer Interpretation wie folgt beschreiben:
I =(U_I , Func_I , Pred_I
wobei gilt:
U_I = nichtleere Trägermenge (engl. carrier set mit allen Objekten einer Interpretation
Func_I = Funktionsmenge:
\{f_I: \underbrace{U_I \times\dots\times U_I}_{n-mal} \rightarrow U_I | f \in Func\; mit\; Stelligkeit\; n \in N\}
Pred_I = Menge von Relationen:
\{p_I \subseteq \underbrace{U_I \times\dots\times U_I}_{n-mal} \rightarrow
U_I | p \in Pred\; mit\; Stelligkeit\; n \in N\}
Eine Interpretation I in PL1 bildet Funktoren und Prädikaten der Signatur auf Objekte der zu repräsentierenden Welt über dem Universum U gemäß folgender Tabelle ab:
{| border=1
|Nullstellige Funktoren
|Elemente aus U
|-
|Ein- oder mehrstellige Funktoren
|Funktionen
|-
|Nullstellige Prädikate
|Belegung mit Wahrheitswert
|-
|Einstellige Prädikate
|Teilmenge von U
|-
|Mehrstellige Prädikate
|Relationen R \subseteq \underbrace{U \times\dots\times U}_{Stelligkeit\; n}
|}
Beispiel:
Seien Signatur \Sigma=(\{eins^0, plus^2\},\{gleich^2\} mit p^i = p, mit Stelligkeit i und Interpretation
(N, \{+ \in N\times N \rightarrow N \}, \{ \{(n,m \in N\times N | n = m\} \}
gegeben. So gilt:
{| border = 1
|I(eins
|1\in N = U
|-
|I(plus
|+ \in N\times N \rightarrow N
|-
|I(gleich
|\{(n,m \in N\times N | n = m\}= \{(0,0,(1,1, \dots\}
|}
Die Menge der Formeln For(\Sigma
Die Menge der Formeln über eine Signatur \Sigma ist ein wesentlicher Bestandteil eines logischen Systems. Formeln bilden die syntaktische Repräsentation von Objekten der zu repräsentierenden Welt W, von Aussagen über diese Objekte, sowie von Sachverhalten, mit denen die Welt W beschrieben wird. Eine wesentliche Eigenschaft der Formeln eines logischen Systems ist ihre Wohlformuliertheit (engl. well-formed formula.
For(\Sigma enthält alle Formeln, die sich entsprechend der voregebenen Grammatik für Formeln aus den Elementen der Signatur \Sigma bilden lassen. Genau für diese Formeln gilt die Eigenschaft der Wohlformuliertheit.
;Formeln in Aussagenlogik
Handelt es sich bei der Signatur um eine rein aussagenlogische Signatur, d.h. die Signatur enthält ausschließlich Aussagevariablen (= nullstellige Prädikate, so bilden diese selbst bereits atomare aussagenlogische Formeln, die sogenannten Literale. Die Menge For(\Sigma umfasst bei einer aussagenlogischen Signatur somit die Signatur selbst und alle komplexeren Formen, die entsprechend der Grammatik für Formeln durch logische Verknüpfungen gebildet werden können.
Beispiel:
Sei eine Signatur \Sigma = {Mo,Di,Mi,Do,Fr,Sa,So} gegeben. So können z.B. die folgenden Formeln gebildet werden:
\neg Mo \Rightarrow Di
\neg Mo \wedge\neg Di \wedge\neg Mi \wedge\neg Do \wedge\neg Fr
\Rightarrow Sa \wedge So
Mo \vee Di \vee Mi \vee Do \vee Fr \Rightarrow Sa \vee So
;Formeln in Prädikatenlogik
Neben den im vorangegangenen Abschnitt aufgeführten aussagenlogischen Formeln
For(\Sigma_{AL} können Formeln in der prädikatenlogischen Formelmenge For(\Sigma ebenso Variablen und Quantifizierungen über diese Variablen enthalten. Enhält eine Signatur \Sigma das einstellige Prädikat P(x, so enhält die Formelmenge For(\Sigma das Prädikat selbst, sowie existentielle und universelle Quantifizierung der Aussage P über die Individuenvariable x
Beispiel:
Sei eine Signatur Beispiel: = {Vater(x,y, Großvater(x,y} gegeben und seien x, y, z Variablen, so lässt sich daraus die folgende Formel ableiten: \forall x.\forall y.\forall z:Vater(x,y\wedge Vater(y,z\RightarrowGroßvater(x,z
Sei ferner eine Signatur \Sigma={loves(x,y} gegeben, wobei x, y Variablen für Personen bezeichnen. So lassen sich folgende Sätze durch prädikatenlogische Formeln über dieser Signatur formulieren:
{|
|Everybody loves somebody
|\forall x. \exists y: loves(x,y
|-
|Somebody loves somebody
|\exists x. \exists y: loves(x,y
|-
|Everybody loves everybody
|\forall x. \forall y: loves(x,y
|-
|Nobody loves everybody
|\neg (\exists x. \forall y: loves(x,y
|-
|Somebody loves nobody
|\exists x. \forall y: \neg loves(x,y
|}
Die Erfüllungsrelation
Zusammen mit der Interpretation einer Signatur stellt die Erfüllungsrelation die Verbindung zwischen den syntaktisch durch Formeln repräsentierten Objekten einer Welt W und deren Semantik in W dar. Eine Erfüllungsrelation gibt an, wann eine Formel in einer Interpretation gilt und ob eine Formel in einer Interpretation wahr oder falsch ist. Da diese Relation eine der Grundkomponenten des logischen Systems ist, stellt jedes logische System eine solche Erfüllungsrelation (satisfaction relation bereit:
\models_\Sigma \subseteq Int(\Sigma \times For(\Sigma
Beispiel:
Sei I_1eine Signatur, A ein Literal und gelte I_1(A = 1, dann gilt I_1\models_{\Sigma_{AL}} A.
Überträgt man die Erfüllungsrelation auf eine Relation zwischen Formeln , so erhlt man die logische Folgerung:
\models_\Sigma \subseteq For(\Sigma\times For(\Sigma
F \models_\Sigma G \Leftrightarrow \forall I \in \Sigma \longrightarrow
\{0,1\}: I \models_\Sigma F \Rightarrow I \models_\Sigma G
Dabei wird F \models_\Sigma Ggelesen als "aus F folgt logisch G" oder "G folgt logisch aus F".
Geschichte der Logik
Aristoteles | (Aristoteles) (384-322 v.u.Z.:
Entwicklung der bis ins 19. Jahrhundert verwendeten Syllogistik .html"> (Prädikatenlogik).
Gottfried Wilhelm Leibniz | (Gottfried Wilhelm Leibniz) (1646-1716:
Erste Ansätze zu einer symbolischen Logik; Aufstellung des Leibnizschen Gesetzes | (Leibnizsches Gesetz|Leibnizschen Gesetzes)
George Boole | (George Boole) (1815-1864:
Entwicklung der Algebra | (Algebra).
Georg Cantor | (Georg Cantor) (1845-1918:
Entwicklung der Mengenlehre | (Mengenlehre).
Gottlob Frege | (Gottlob Frege) (1848-1925:
Entwicklung der modernen Aussagen- und Prädikatenlogik | (Prädikatenlogik).
Edmund Husserl | (Edmund Husserl) (1859-1938:
Kritik des Psychologismus | (Psychologismus), der die Logik auf psychische Vorgänge reduziert sie damit als beliebig, willkürlich und zufällig annimmt.
Bertrand Russell | (Bertrand Russell) (1872-1970:
Russellsche Antinomie | (Russellsche Antinomie).
Kurt Gödel | (Kurt Gödel) (1906-1978:
Vollständigkeit der Prädikatenlogik.
Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik | (Peano-Arithmetik).
Weitere Autoren / Forscher / Klassiker
Charles Sanders Peirce .html"> (1839) - 1914 | (1914)
Jan Lukasiewicz .html"> (1878) - 1956 | (1956)
Ludwig Wittgenstein .html"> (1889)-1951 | (1951)
Alfred Tarski .html"> (1901) - 1983 | (1983)
Gotthard Günther | (Gotthard Günther)
Paul Lorenzen .html"> (1915) - 1994 | (1994)
George Spencer-Brown .html"> (1923)
Willard van Orman Quine | (Willard van Orman Quine)
Kazimierz Ajdukiewicz | (Kazimierz Ajdukiewicz)
Literatur
Arnauld, Antoine und Nicole, Pierre: Die Logik oder die Kunst des Denkens, 2. durchgesehene und um eine Einleitung erweiterte Auflage, Darmstadt 1994
Kälin, Bernhard: Lehrbuch der Philosophie. Band I: Logik, Ontologie, Kosmologie, Psychologie, Kriteriologie und Theodizee (1957 und Band II: Ethik (1954, Sarnen
Lakebrink, Bernhard: Kommentar zu Hegels "Logik" in seiner "Enzyklopädie" von 1830, Band 1: Sein und Wesen, Freiburg / München 1979
Lehmen, Alfons: Lehrbuch der Philosophie auf aristotelisch-scholastischer Grundlage; Band I: Logik, Kritik, Ontologie, sechste verbesserte Auflage, 1923; Band II: Kosmologie (II.1, d.h. erster Teil, fünfte, verbesserte und vermehrte Auflage 1920 und Psychologie (II.2, d.h. zweiter Teil, fünfte, verbesserte und vermehrte Auflage 1921; Band III: Theodizee, fünfte, verbesserte Auflage, 1923; Band IV: Moralphilosophie, dritte, verbesserte und vermehrte Auflage, 1919, Freiburg im Breisgau
...
''Siehe auch:'' Formale Logik .html"> (Deduktion), Induktion (Logik .html"> (klassische Logik), Kontraposition .html"> (Theorie formaler Sprachen), Theoretische Informatik .html"> (Quantenlogik), Horn-Klauseln .html"> (Resolution (Logik, Unifikation .html"> (Tableaux), Semantik .html"> (Argument), Temporale Logik .html"> (Dynamische Logik), Aktionslogik .html"> (Fixpunktlogik), Aequilibrium indifferentiae | (Aequilibrium indifferentiae).
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